İRRASYONEL

√ 2 SAYISININ İRRASYONEL OLDUĞUNUN İSPATI 

     Olmayan ergi yöntemini kullanarak √ 2'nin irrasyonel olduğunu ispatlayalım.

√ 2'nin irrasyonel bir sayı olduğunu varsayalım.

Rasyonel sayının tanımına ve yaptığımız varsayıma göre, tam sayılar kümesinde

    √ 2=a/b

eşitliğini sağlayan, aralarında asal a ve b gibi iki sayı bulunmaktadır.

Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının da karesini alırsak, a^2 ile b^2 arasında aşağıdaki ilişkiyi buluruz.

      2=a^2/b^2

    2.b^2=a^2

Bu ilişkiden a^2'nin çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz. Çünkü a^2, 2 ile bir tam sayının çarpına eşittir. Başka bir değişle, a^2'nin çarpanlarından biri 2'dir. Ayrıca a^2 bir tam kare olduğu için, çarpanlarına ayrıldığında 2'nin kuvvetinin en az 2'ye eşit olması gerekir. Bu nedenle, yalnız a^2 değil, aynı zamanda a da bir çift sayı olmalıdır.

Çift olduğu için a'yı bir tam sayı ile 2'nin çarpımı şeklinde yazabiliriz. c bir tam sayı olmak üzere, a yerine

     a=2.c

yazarsak,

     

     2.b^2=4.c^2

     b^2=2.c^2

eşitliğini elde ederiz. a^2 gibi, b^2'nin de bir tam sayı ile 2'nin çarpımı olduğunu görüyoruz.

a için takip ettiğimiz adımları, b için uygularsak, b'nin de bir çift sayı olduğunu görebiliriz. Hem a Hem de b çift sayı olduğuna göre aralarında asal olamazlar. Dolayısıyla √ 2'yi

    √ 2=a/b

formunda yazabileceğimiz aralarında asal a ve b tam sayıları bulunmamaktır. Bu nedenle√ 2 rasyonal bir sayı değildir.

SIFIR

              SIFIR

Sayılar diyarında gezinmeye küçük yaşlarda başlarız. "Sayı alfabesi"nin ilk harfinin 1 olduğunu da o dönemde öğreniriz. Saymaya hep onunla başlarız: 1,2,3,4,.... Sayma sayıları, adından da anlaşılacağı üzere nesneleri, örneğin elmaları, portakalları, muzları veya armutları saymamıza yarar. İçi boş sepette kaç elma olduğunu saymayı ise daha sonra öğreniriz.

           Ne bilim ve matematiği dev adımlarla ileri götüren Antik Yunanlar, ne de mühendislikte          müthiş başarılara imza atan Romalılar boş sepetteki elma sayısını gerektiği gibi ifade edemezdi. Hiçliği ifade eden sayıya henüz bir ad konmamıştı. Romalılar sayıları I, V, X, L, C, D ve M harflerini değişik şekillerde bir araya getirerek gösteriyorlardı fakat 0'a yer vermemişlerdi. 0 sayılarda yoktu.

Sıfır nasıl kabul gördü?

           "Hiçliği" gösteren bir simgenin kullanılmaya başlanması bundan binlerce yıl önce oldu. Günümüzdeki Meksika'da yaşamış olan Maya uygarlığı sıfırı farklı şekillerde kullanmıştı. Onlardan bir süre sonra, Babillilerden etkilenen gökbilimci Klaudyos Batlamyus, kendi sayı sisteminde modern 0'a benzer bir simgeyi yer belirteci olarak kullandı. Bu sayede örneğin 75 ve 705 sayılarını Babillerin yaptığı gibi bağlama göre ayırt etmek yerine doğrudan ayırt etmek mümkün hale geliyordu. Bunu dildeki virgüle benzetebiliriz: her ikisi de mümkün olan anlamlardan hangisinin kastedildiğini saptamamıza yardımcı olur. Ve tıpkı virgülde olduğu gibi, sıfır için de kuralların belirlenmesi gerekiyordu. Yedinci yüzyılda yaşamış Hintli matematikçi Brahmagupta, sıfırı bir yer belirteci olmanın ötesinde bir sayı olarak kabul etti ve sıfırla yapılabilecek işlemlerle ilgili kuralları belirlemeye çalıştı. Örneğin pozitif bir sayıyla sıfırn toplamı aynı pozitif sayıi sıfırla sıfırın toplamı ise yine sıfır etmeliydi. Sıfırı bir yer belirtecinden ziyade bir sayı olarak ele alması açısından çağının çok ilerisindeydi. Sıfıra bu şekilde yaklaşan Hint-Arap sayı sisteminin, Batıya ayak basmak için 1202'ye kadar, yani Pisa'lı Leonardo Fibonacci'nin Liber Abaci adlı eserini yayınlamasına kadar beklemesi gerekecekti. Kuzey Afrika'da büyüyen ve Hint-Arap aritmetiği üzerine eğitim alan Fibonacci, 0 sayısı ile Hint simgeleri olan 1,2,3,4,5,6,7,8 ve 9'un birleşiminden oluşan sayı sisteminin gücünü takdir etmekte gecikmemişti.